I denne veiledningen vil du lære hva Ford-Fulkerson-algoritmen er. Du finner også arbeidseksempler på å finne maksimal flyt i et strømningsnettverk i C, C ++, Java og Python.
Ford-Fulkerson-algoritmen er en grådig tilnærming for å beregne maksimal flyt i et nettverk eller en graf.
Et begrep, flytnettverk , brukes til å beskrive et nettverk av hjørner og kanter med en kilde (S) og en vask (T). Hvert toppunkt, unntatt S og T , kan motta og sende like mye ting gjennom det. S kan bare sende og T kan bare motta ting.
Vi kan visualisere forståelsen av algoritmen ved hjelp av en flyt av væske inne i et nettverk av rør med forskjellige kapasiteter. Hvert rør har en viss væskekapasitet det kan overføre ved en forekomst. For denne algoritmen skal vi finne ut hvor mye væske som kan strømme fra kilden til vasken i et tilfelle som bruker nettverket.
Flyt nettverksgraf
Terminologier brukt
Augmenting Path
Det er banen som er tilgjengelig i et strømningsnettverk.
Restgrafikk
Det representerer strømningsnettverket som har ekstra mulig flyt.
Restkapasitet
Det er kapasiteten til kanten etter å ha trukket strømmen fra maksimal kapasitet.
Hvordan fungerer Ford-Fulkerson-algoritmen?
Algoritmen følger:
- Initialiser flyten i alle kantene til 0.
- Mens det er en forsterkningsbane mellom kilden og vasken, legg denne banen til strømmen.
- Oppdater gjenværende graf.
Vi kan også vurdere omvendt vei hvis det er nødvendig, for hvis vi ikke vurderer dem, kan vi aldri finne en maksimal flyt.
Ovennevnte konsepter kan forstås med eksemplet nedenfor.
Ford-Fulkerson-eksempel
Flytningen av alle kantene er 0 i begynnelsen.
Eksempel på flytnett
- Velg hvilken som helst vilkårlig bane fra S til T. I dette trinnet har vi valgt bane SABT.
Finn en sti
Minimumskapasiteten mellom de tre kantene er 2 (BT). Basert på dette, oppdater flyt / kapasitet for hver bane.
Oppdater kapasitetene - Velg en annen sti SDCT. Minimumskapasiteten mellom disse kantene er 3 (SD).
Finn neste vei
Oppdater kapasitetene i henhold til dette.
Oppdater kapasitetene - La oss nå også vurdere omvendt BD. Velge sti SABDCT. Minste restkapasitet mellom kantene er 1 (DC).
Finn neste vei
Oppdatere kapasitetene.
Oppdater kapasitetene
Kapasiteten for forover- og bakoverveier blir vurdert separat. - Legge til alle strømmer = 2 + 3 + 1 = 6, som er den maksimale mulige strømmen på strømningsnettverket.
Merk at hvis kapasiteten for en hvilken som helst kant er full, kan ikke denne banen brukes.
Python, Java og C / C ++ eksempler
Python Java C C ++ # Ford-Fulkerson algorith in Python from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, graph): self.graph = graph self. ROW = len(graph) # Using BFS as a searching algorithm def searching_algo_BFS(self, s, t, parent): visited = (False) * (self.ROW) queue = () queue.append(s) visited(s) = True while queue: u = queue.pop(0) for ind, val in enumerate(self.graph(u)): if visited(ind) == False and val> 0: queue.append(ind) visited(ind) = True parent(ind) = u return True if visited(t) else False # Applying fordfulkerson algorithm def ford_fulkerson(self, source, sink): parent = (-1) * (self.ROW) max_flow = 0 while self.searching_algo_BFS(source, sink, parent): path_flow = float("Inf") s = sink while(s != source): path_flow = min(path_flow, self.graph(parent(s))(s)) s = parent(s) # Adding the path flows max_flow += path_flow # Updating the residual values of edges v = sink while(v != source): u = parent(v) self.graph(u)(v) -= path_flow self.graph(v)(u) += path_flow v = parent(v) return max_flow graph = ((0, 8, 0, 0, 3, 0), (0, 0, 9, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 7, 2), (0, 0, 0, 0, 0, 5), (0, 0, 7, 4, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0)) g = Graph(graph) source = 0 sink = 5 print("Max Flow: %d " % g.ford_fulkerson(source, sink))
// Ford-Fulkerson algorith in Java import java.util.LinkedList; class FordFulkerson ( static final int V = 6; // Using BFS as a searching algorithm boolean bfs(int Graph()(), int s, int t, int p()) ( boolean visited() = new boolean(V); for (int i = 0; i < V; ++i) visited(i) = false; LinkedList queue = new LinkedList(); queue.add(s); visited(s) = true; p(s) = -1; while (queue.size() != 0) ( int u = queue.poll(); for (int v = 0; v 0) ( queue.add(v); p(v) = u; visited(v) = true; ) ) ) return (visited(t) == true); ) // Applying fordfulkerson algorithm int fordFulkerson(int graph()(), int s, int t) ( int u, v; int Graph()() = new int(V)(V); for (u = 0; u < V; u++) for (v = 0; v < V; v++) Graph(u)(v) = graph(u)(v); int p() = new int(V); int max_flow = 0; # Updating the residual calues of edges while (bfs(Graph, s, t, p)) ( int path_flow = Integer.MAX_VALUE; for (v = t; v != s; v = p(v)) ( u = p(v); path_flow = Math.min(path_flow, Graph(u)(v)); ) for (v = t; v != s; v = p(v)) ( u = p(v); Graph(u)(v) -= path_flow; Graph(v)(u) += path_flow; ) // Adding the path flows max_flow += path_flow; ) return max_flow; ) public static void main(String() args) throws java.lang.Exception ( int graph()() = new int()() ( ( 0, 8, 0, 0, 3, 0 ), ( 0, 0, 9, 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 0, 7, 2 ), ( 0, 0, 0, 0, 0, 5 ), ( 0, 0, 7, 4, 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) ); FordFulkerson m = new FordFulkerson(); System.out.println("Max Flow: " + m.fordFulkerson(graph, 0, 5)); ) )
/ Ford - Fulkerson algorith in C #include #define A 0 #define B 1 #define C 2 #define MAX_NODES 1000 #define O 1000000000 int n; int e; int capacity(MAX_NODES)(MAX_NODES); int flow(MAX_NODES)(MAX_NODES); int color(MAX_NODES); int pred(MAX_NODES); int min(int x, int y) ( return x < y ? x : y; ) int head, tail; int q(MAX_NODES + 2); void enqueue(int x) ( q(tail) = x; tail++; color(x) = B; ) int dequeue() ( int x = q(head); head++; color(x) = C; return x; ) // Using BFS as a searching algorithm int bfs(int start, int target) ( int u, v; for (u = 0; u < n; u++) ( color(u) = A; ) head = tail = 0; enqueue(start); pred(start) = -1; while (head != tail) ( u = dequeue(); for (v = 0; v 0) ( enqueue(v); pred(v) = u; ) ) ) return color(target) == C; ) // Applying fordfulkerson algorithm int fordFulkerson(int source, int sink) ( int i, j, u; int max_flow = 0; for (i = 0; i < n; i++) ( for (j = 0; j = 0; u = pred(u)) ( increment = min(increment, capacity(pred(u))(u) - flow(pred(u))(u)); ) for (u = n - 1; pred(u)>= 0; u = pred(u)) ( flow(pred(u))(u) += increment; flow(u)(pred(u)) -= increment; ) // Adding the path flows max_flow += increment; ) return max_flow; ) int main() ( for (int i = 0; i < n; i++) ( for (int j = 0; j < n; j++) ( capacity(i)(j) = 0; ) ) n = 6; e = 7; capacity(0)(1) = 8; capacity(0)(4) = 3; capacity(1)(2) = 9; capacity(2)(4) = 7; capacity(2)(5) = 2; capacity(3)(5) = 5; capacity(4)(2) = 7; capacity(4)(3) = 4; int s = 0, t = 5; printf("Max Flow: %d", fordFulkerson(s, t)); )
// Ford-Fulkerson algorith in C++ #include #include #include #include using namespace std; #define V 6 // Using BFS as a searching algorithm bool bfs(int rGraph(V)(V), int s, int t, int parent()) ( bool visited(V); memset(visited, 0, sizeof(visited)); queue q; q.push(s); visited(s) = true; parent(s) = -1; while (!q.empty()) ( int u = q.front(); q.pop(); for (int v = 0; v 0) ( q.push(v); parent(v) = u; visited(v) = true; ) ) ) return (visited(t) == true); ) // Applying fordfulkerson algorithm int fordFulkerson(int graph(V)(V), int s, int t) ( int u, v; int rGraph(V)(V); for (u = 0; u < V; u++) for (v = 0; v < V; v++) rGraph(u)(v) = graph(u)(v); int parent(V); int max_flow = 0; // Updating the residual values of edges while (bfs(rGraph, s, t, parent)) ( int path_flow = INT_MAX; for (v = t; v != s; v = parent(v)) ( u = parent(v); path_flow = min(path_flow, rGraph(u)(v)); ) for (v = t; v != s; v = parent(v)) ( u = parent(v); rGraph(u)(v) -= path_flow; rGraph(v)(u) += path_flow; ) // Adding the path flows max_flow += path_flow; ) return max_flow; ) int main() ( int graph(V)(V) = ((0, 8, 0, 0, 3, 0), (0, 0, 9, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 7, 2), (0, 0, 0, 0, 0, 5), (0, 0, 7, 4, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0)); cout << "Max Flow: " << fordFulkerson(graph, 0, 5) << endl; )
Ford-Fulkerson-applikasjoner
- Vannfordelingsrørledning
- Bipartite matching problem
- Sirkulasjon med krav
